MateMágica dos Quadrados e Cubos.
Projeto realizado no ano de 2015 na Escola Municipal Dionízio Milioli com a turma de sexto ano.
CONTEÚDOS
-
Sequência.
-
Soma dos termos de uma Sequência.
-
Números Quadrados e Raízes Quadradas.
-
Números Cúbicos e Raízes Cúbicas.
-
Pilhas de Cubos: Problemas de Contagem.
OBJETIVO GERAL
Significar conceitos aritméticos e algébricos a partir da observação e manipulação de quadrados e cubos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
-
Reconhecer a simetria na disposição de termos em uma sequência e utilizar esse conhecimento como ferramenta importante para completar o quadrado mágico.
-
Calcular os n termos de uma sequência S_n e, a partir da análise dos resultados, fazer generalizações.
-
Associar os termos "quadrado" e "cubo" às suas respectivas representações geométricas e ao expoente de uma potência.
-
Compreender o conceito de radiciação registrando figuras em malha quadriculada.
-
Desenvolver o raciocínio-lógico por meio da execução de atividades lúdicas e enigmas matemáticos.
-
Motivar a socialização do que foi aprendido em aula, enfatizando a cooperação durante a execução das atividades propostas.
METODOLOGIA
O trabalho teve início com o estudo de Sequências Numéricas pertencentes ao Conjunto dos Números Naturais sendo que os registros foram feitos em folha de papel quadriculado. O primeiro passo foi simples: escrever números naturais, um a um, incluindo o zero, no interior dos quadrados criados, como na Figura 1. Note que, nesses quadrados, os números escritos na primeira coluna são os primeiros múltiplos de 0, 2, 3 e 4 respectivamente.
Fazemos novamente os quadrados e preenchemos, dessa vez começando a contagem a partir do número 1 (Figura 2).O número que representa o último pequeno quadrado a ser contado é um número quadrado perfeito. Admitindo que cada segmento dessa malha tem comprimento igual a 1, as respectivas raízes quadradas de cada número quadrado são iguais ao comprimento de seu lado.
Dois outros tipos de quadrado enumerado também serviram de objeto de estudo: um utilizado como jogo de raciocínio lógico, o Sudoku, fora aplicado como desafio para aquele que o tentasse resolver e o outro, o quadrado mágico, foi apresentado como antigo enigma matemático que ainda hoje é bastante utilizado.
No quadrado mágico a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é sempre a mesma sendo chamada de constante mágica. A ordem ou tamanho do quadrado é definida pela sua quantidade de linhas ou colunas. Um quadrado de ordem 3 possui 3 linhas e 3 colunas, logo possui 9 quadrados menores, que deverão ser preenchidos com os algarismos de 1 a 9 (Figura 3).
Para preencher um quadrado mágico, o primeiro passo é descobrir o valor da constante mágica. Para tanto é necessário fazer a soma de todos os números, dividindo esse total pela quantidade de linhas ou colunas do quadrado mágico. Sabendo que os números considerados sempre estarão em progressão aritmética, a soma total é dada pela adição do primeiro número com o último, multiplicada pela metade do total de parcelas. Para facilitar o cálculo quando temos um número ímpar de parcelas a serem somadas, adicionamos o último termo no final do cálculo.
constante mágica: 45 : 3 = 15
Após a construção e estudo, utilizando quadrados e malhas quadriculadas, dos conceitos de número quadrado, raiz quadrada, sequência numérica, dos múltiplos e da soma dos termos de uma sequência, iniciou-se o processo de significação de outros conceitos utilizando cubos.
Inicialmente trabalhamos desenhando cubos em perspectiva, isso feito em malhas quadriculadas. Cubos de aresta 1, 2, 3, 4, 5... À medida que os alunos faziam os desenhos percebiam que neles estava embutida a ideia de profundidade. Para que alguns alunos pudessem compreender que o cubo de aresta 3 é formado por 27 pequenos cubos foi necessário utilizar material dourado. A partir dos desenhos e da manipulação dos cubos extraímos os conceitos de números cúbicos e suas raízes cúbicas.
Durante este estudo foi também utilizado o software Building with blocks1. Nele é preciso montar pilhas de cubos a partir de uma imagem (sombra) ou de suas vistas superior ou lateral. Ainda é possível girar a pilha de cubos que foi montada e obter todas essas vistas. O software é livre para ser utilizado online.
Nas aulas de artes os alunos recriaram obras do artista Victor Vasarely (1908 – 1974), um pintor húngaro considerado pai da OpArt. Nos trabalhos deste artista utilizando quadrados e cubos, é trabalhado o espaço tridimensional no plano, muitas vezes utilizando malhas quadriculadas.
Para trabalhar o cubo de forma lúdica, a escola participa de um projeto desenvolvido pela prefeitura de Criciúma, na pessoa de Ana Lúcia Pintro, coordenadora de matemática, que tem como objetivo usar o cubo mágico como recurso de aprendizagem e desenvolvimento de habilidades.
Durante os intervalos os alunos moviam as peças, aprendendo e treinando os passos para montar o cubo mágico. Esse desafio criou oportunidade para trabalhar em aula questões de análise e lógica, criando problemas como o de pintar o cubo com o menor número de cores possível ou com cores diferentes nas faces que tem uma aresta em comum ou ainda modos de pintar as peças do cubo levando em conta apenas as faces que ficam na superfície.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A experiência de construção de conceitos aritméticos a partir de elementos de geometria possibilitou um estudo mais amplo, do ponto de vista matemático, de cada conteúdo. Uma vez que o fato novo está inicialmente sendo representado por uma figura, um desenho, o mesmo deixa de ser algo distante da compreensão do aluno e a ideia abstrata é tratada como um objeto matemático.
As atividades que foram realizadas concomitantemente à construção dos conceitos provinham, também, da própria matemática. Enigmas lógicos, jogos e a manipulação dos cubos foram fundamentais para que os alunos não só dispusessem de argumentos matemáticos para expressar a solução de cada problema proposto, mas para entender o significado conceitual e a linguagem matemática expressa neles.
CONCLUSÕES
O projeto contribui para compreensão de que a matemática é uma ciência em construção, que possui autores e uma história, que aquilo se aprende na escola não serve somente para aplicar no contexto financeiro ou cotidiano. Dessa forma, buscar a contextualização em conceitos próprios da matemática permitiu ao aluno a percepção da interligação entre os “diferentes” conteúdos e as atividades desenvolvidas em sala de aula possibilitaram o reconhecimento da variedade de aplicações que existem dentro da própria matemática.